1. Génération des clés publiques et privées :
- (1) Choisir aléatoirement deux grands nombres premiers p et q, et construire n = p*q ;
- (2) Calculer la fonction indicatrice d'Euler φ(n) = (p-1) * (q-1) ;
- (3) Choisir aléatoirement e tel que gcd(e, φ(n)) = 1, c'est-à-dire que e et φ(n) sont premiers entre eux ; gcd désigne la recherche du plus grand commun diviseur ;
- (4) Calculer d tel que e*d ≡ 1 (mod φ(n)), c'est-à-dire que d est l'inverse multiplicatif de e.
2. Processus de chiffrement :
(1) L'information à chiffrer (texte en clair) est m, m < n ; (parce qu'une arithmétique modulaire doit être effectuée, si m est supérieur à n, les opérations suivantes ne seront pas valides ; par conséquent, lorsque l'information est plus grande que n, elle doit être chiffrée par blocs) ;
(2)) La génération du texte chiffré c est $$ c = m^e mod (n) $$
3. Déchiffrement
$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$
3. Déchiffrement
$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$
Pourquoi le déchiffrement est-il possible ?
Le théorème d'Euler est nécessaire (en fait une généralisation du petit théorème de Fermat)
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，
Généralisation supplémentaire : a^(φ(n)k) ≡ 1 (mod n)，
Nous obtenons a^(φ(n)k+1) ≡ a (mod n)
Notez que ed ≡ 1 mod φ(N), c'est-à-dire ed = 1 + k*φ(N).
Par conséquent, $$ M^(de) mod N = M^1 + kφ(N) mod N = M
$$
4. Le code est le suivant
Exemple
#coding=utf-8
#__author__ = 'ralph'
import random
def extendedGCD(a, b):
#a*xi + b*yi = ri
if b == 0:
return (1, 0, a)
#a*x1 + b*y1 = a
x1 = 1
y1 = 0
#a*x2 + b*y2 = b
x2 = 0
y2 = 1
while b != 0:
q = a / b
#ri = r(i-2) % r(i-1)
r = a % b
a = b
b = r
#xi = x(i-2) - q*x(i-1)
x = x1 - q*x2
x1 = x2
x2 = x
#yi = y(i-2) - q*y(i-1)
y = y1 - q*y2
y1 = y2
y2 = y
return(x1, y1, a)
def computeD(fn, e):
(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
#y est peut-être < 0, donc le convertir
if y < 0:
return fn + y
return y
def keyGeneration(p,q,e):
#générer la clé publique et la clé privée
n = p * q
fn = (p-1) * (q-1)
d = computeD(fn, e)
return (d,n)
p_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur de p (décimal)\n'))
q_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur de q (décimal)\n'))
e_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur de e (décimal)\n'))
c_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur du texte chiffré c (décimal)\n'))
(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) # Générer d et n
m = pow(c_v,d,n)
print ("Le texte en clair m obtenu est :"+str(m))
Lorsque la valeur de p : 18443, la valeur de q : 49891, la valeur de e : 19,
Valeur du texte chiffré c :
70479679275221115227470416418414022368270835483295235263072905459788476483295235459788476663551792475206804459788476428313374475206804459788476425392137704796792458265677341524652483295235534149509425392137428313374425392137341524652458265677263072905483295235828509797341524652425392137475206804428313374483295235475206804459788476306220148
Le résultat obtenu s'affichera
Le texte en clair m obtenu est : 88455713
Exemple
#coding=utf-8
#__author__ = 'ralph'
import random
def extendedGCD(a, b):
#a*xi + b*yi = ri
if b == 0:
return (1, 0, a)
#a*x1 + b*y1 = a
x1 = 1
y1 = 0
#a*x2 + b*y2 = b
x2 = 0
y2 = 1
while b != 0:
q = a / b
#ri = r(i-2) % r(i-1)
r = a % b
a = b
b = r
#xi = x(i-2) - q*x(i-1)
x = x1 - q*x2
x1 = x2
x2 = x
#yi = y(i-2) - q*y(i-1)
y = y1 - q*y2
y1 = y2
y2 = y
return(x1, y1, a)
def computeD(fn, e):
(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
#y est peut-être < 0, donc le convertir
if y < 0:
return fn + y
return y
def keyGeneration(p,q,e):
#générer la clé publique et la clé privée
n = p * q
fn = (p-1) * (q-1)
d = computeD(fn, e)
return (d,n)
p_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur de p (décimal)\n'))
q_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur de q (décimal)\n'))
e_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur de e (décimal)\n'))
c_v = int(raw_input('Veuillez saisir la valeur du texte chiffré c (décimal)\n'))
(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) # Générer d et n
m = pow(c_v,d,n)
print ("Le texte en clair m obtenu est :"+str(m))
Le texte en clair m obtenu est : 88455713