1. Генерация открытого и закрытого ключей:
- (1) Случайно выбрать два больших простых числа p и q и построить n = p*q;
- (2) Вычислить функцию Эйлера φ(n) = (p-1) * (q-1);
- (3) Случайно выбрать e так, чтобы gcd(e, φ(n)) = 1, то есть e и φ(n) взаимно просты; gcd — это нахождение наибольшего общего делителя;
- (4) Вычислить d так, чтобы e*d ≡ 1 (mod φ(n)), то есть d является обратным по умножению к e.
2. Процесс шифрования:
(1) Информация, подлежащая шифрованию (открытый текст), — это m, m < n; (поскольку выполняется модульная арифметика, если m больше n, последующие операции не будут иметь силу; поэтому, когда информация больше n, её следует шифровать блоками);
(2)) Генерация шифртекста c: $$ c = m^e mod (n) $$
3. Дешифрование
$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$
3. Дешифрование
$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$
Почему дешифрование возможно?
Требуется теорема Эйлера (фактически обобщение малой теоремы Ферма)
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，
Дальнейшее обобщение: a^(φ(n)k) ≡ 1 (mod n)，
Получаем a^(φ(n)k+1) ≡ a (mod n)
Заметим, что ed ≡ 1 mod φ(N), т. е. ed = 1 + k*φ(N).
Следовательно, $$ M^(de) mod N = M^1 + kφ(N) mod N = M
$$
4. Код выглядит следующим образом
Пример
#coding=utf-8
#__author__ = 'ralph'
import random
def extendedGCD(a, b):
#a*xi + b*yi = ri
if b == 0:
return (1, 0, a)
#a*x1 + b*y1 = a
x1 = 1
y1 = 0
#a*x2 + b*y2 = b
x2 = 0
y2 = 1
while b != 0:
q = a / b
#ri = r(i-2) % r(i-1)
r = a % b
a = b
b = r
#xi = x(i-2) - q*x(i-1)
x = x1 - q*x2
x1 = x2
x2 = x
#yi = y(i-2) - q*y(i-1)
y = y1 - q*y2
y1 = y2
y2 = y
return(x1, y1, a)
def computeD(fn, e):
(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
#y, возможно, < 0, поэтому преобразуйте его
if y < 0:
return fn + y
return y
def keyGeneration(p,q,e):
#сгенерировать открытый ключ и закрытый ключ
n = p * q
fn = (p-1) * (q-1)
d = computeD(fn, e)
return (d,n)
p_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение p (десятичное)\n'))
q_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение q (десятичное)\n'))
e_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение e (десятичное)\n'))
c_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение шифротекста c (десятичное)\n'))
(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) # Сгенерировать d и n
m = pow(c_v,d,n)
print ("Полученный открытый текст m равен:"+str(m))
Когда значение p: 18443, значение q: 49891, значение e: 19,
Значение шифротекста c:
70479679275221115227470416418414022368270835483295235263072905459788476483295235459788476663551792475206804459788476428313374475206804459788476425392137704796792458265677341524652483295235534149509425392137428313374425392137341524652458265677263072905483295235828509797341524652425392137475206804428313374483295235475206804459788476306220148
Полученный результат покажет
Полученный открытый текст m равен: 88455713
Пример
#coding=utf-8
#__author__ = 'ralph'
import random
def extendedGCD(a, b):
#a*xi + b*yi = ri
if b == 0:
return (1, 0, a)
#a*x1 + b*y1 = a
x1 = 1
y1 = 0
#a*x2 + b*y2 = b
x2 = 0
y2 = 1
while b != 0:
q = a / b
#ri = r(i-2) % r(i-1)
r = a % b
a = b
b = r
#xi = x(i-2) - q*x(i-1)
x = x1 - q*x2
x1 = x2
x2 = x
#yi = y(i-2) - q*y(i-1)
y = y1 - q*y2
y1 = y2
y2 = y
return(x1, y1, a)
def computeD(fn, e):
(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
#y, возможно, < 0, поэтому преобразуйте его
if y < 0:
return fn + y
return y
def keyGeneration(p,q,e):
#сгенерировать открытый ключ и закрытый ключ
n = p * q
fn = (p-1) * (q-1)
d = computeD(fn, e)
return (d,n)
p_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение p (десятичное)\n'))
q_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение q (десятичное)\n'))
e_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение e (десятичное)\n'))
c_v = int(raw_input('Пожалуйста, введите значение шифротекста c (десятичное)\n'))
(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) # Сгенерировать d и n
m = pow(c_v,d,n)
print ("Полученный открытый текст m равен:"+str(m))
Полученный открытый текст m равен: 88455713