1.公開鍵と秘密鍵の生成：
- (1) ランダムに2つの大きな素数pとqを選び、n = p*qを構成する;
- (2)オイラー関数φ(n) = (p-1) * (q-1) を計算する;
- (3) e をランダムに選び、gcd(e, φ(n)) = 1 となるようにする。すなわち、e と φ(n) は互いに素である。gcd は最大公約数を求めることを指す。
- (4) e*d ≡ 1 (mod φ(n)) となるように d を計算する。すなわち、d は e の乗法逆元である。
2. 暗号化プロセス：
(1) 暗号化する情報（平文）はmであり、m < n；（モジュロ演算を行うため、mがnより大きい場合、後の演算は成立しない。したがって、情報がnより大きい場合は、ブロックに分けて暗号化すべきである）
(2))暗号文 c の生成は $$ c = m^e mod (n) $$
3.解密
$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$
3.解密
$$ c^d mod (n) = (m^e)^d mod (n) = m^(d*e) mod (n) ; $$
なぜ復号できるのか？
オイラーの定理を使用する必要がある（実際にはフェルマーの小定理の一般化である）
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，
さらに一般化：a^(φ(n)k) ≡ 1 (mod n)，
得到 a^(φ(n)k+1) ≡ a (mod n)
注意到 ed ≡ 1 mod φ(N)，即：ed = 1 + k*φ(N)。
因此，$$
M^(de) mod N = M^1 + kφ(N) mod N = M
$$
4. コードは以下の通りです。
实例
#coding=utf-8
#__author__ = 'ralph'
import random
def extendedGCD(a, b):
#a*xi + b*yi = ri
if b == 0:
return (1, 0, a)
#a*x1 + b*y1 = a
x1 = 1
y1 = 0
#a*x2 + b*y2 = b
x2 = 0
y2 = 1
while b != 0:
q = a / b
#ri = r(i-2) % r(i-1)
r = a % b
a = b
b = r
#xi = x(i-2) - q*x(i-1)
x = x1 - q*x2
x1 = x2
x2 = x
#yi = y(i-2) - q*y(i-1)
y = y1 - q*y2
y1 = y2
y2 = y
return(x1, y1, a)
def computeD(fn, e):
(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
#y maybe < 0, so convert it
if y < 0:
return fn + y
return y
def keyGeneration(p,q,e):
#generate public key and private key
n = p * q
fn = (p-1) * (q-1)
d = computeD(fn, e)
return (d,n)
p_v = int(raw_input('pの値を入力してください（10進数）\n'))
q_v = int(raw_input('qの値を入力してください（10進数）\n'))
e_v = int(raw_input('eの値を入力してください（10進数）\n'))
c_v = int(raw_input('暗号文cの値を入力してください(10進数)\n'))
(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) # dとnを生成
m = pow(c_v,d,n)
print ("得られた平文mは:"+str(m))
p 値：18443，q 値：49891，e 値：19 を入力すると、
密文c值：
70479679275221115227470416418414022368270835483295235263072905459788476483295235459788476663551792475206804459788476428313374475206804459788476425392137704796792458265677341524652483295235534149509425392137428313374425392137341524652458265677263072905483295235828509797341524652425392137475206804428313374483295235475206804459788476306220148
得られた結果が表示されます。
得られた平文mは: 88455713
实例
#coding=utf-8
#__author__ = 'ralph'
import random
def extendedGCD(a, b):
#a*xi + b*yi = ri
if b == 0:
return (1, 0, a)
#a*x1 + b*y1 = a
x1 = 1
y1 = 0
#a*x2 + b*y2 = b
x2 = 0
y2 = 1
while b != 0:
q = a / b
#ri = r(i-2) % r(i-1)
r = a % b
a = b
b = r
#xi = x(i-2) - q*x(i-1)
x = x1 - q*x2
x1 = x2
x2 = x
#yi = y(i-2) - q*y(i-1)
y = y1 - q*y2
y1 = y2
y2 = y
return(x1, y1, a)
def computeD(fn, e):
(x, y, r) = extendedGCD(fn, e)
#y maybe < 0, so convert it
if y < 0:
return fn + y
return y
def keyGeneration(p,q,e):
#generate public key and private key
n = p * q
fn = (p-1) * (q-1)
d = computeD(fn, e)
return (d,n)
p_v = int(raw_input('pの値を入力してください（10進数）\n'))
q_v = int(raw_input('qの値を入力してください（10進数）\n'))
e_v = int(raw_input('eの値を入力してください（10進数）\n'))
c_v = int(raw_input('暗号文cの値を入力してください(10進数)\n'))
(d,n) = keyGeneration(p_v,q_v,e_v) # dとnを生成
m = pow(c_v,d,n)
print ("得られた平文mは:"+str(m))
得られた平文mは: 88455713